જો $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$,જ્યાં $-1 \le x \le 1$,$-2 \le y \le 2$,અને $x \le \frac{y}{2}$ હોય,તો તમામ $x, y$ માટે $4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2$ ની કિંમત શું થાય?

જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $\operatorname{Sin}^{-1} x - \operatorname{Cos}^{-1} x = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$ ના ઉકેલો હોય અને $\alpha > \beta$ હોય,તો $3\alpha + 4\beta =$

$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \cot \left( \sin^{-1} \sqrt{\frac{2}{3 + \cos 2x}} \right)$ છે. તો $f'\left( \frac{2\pi}{3} \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $k \in R$ માટે,સમીકરણ $\cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right)=k$,જ્યાં $0 < |x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$,ના ઉકેલો $\alpha$ અને $\beta$ છે,જ્યાં પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માત્ર મુખ્ય કિંમતો લે છે. જો સમીકરણ $x^{2}- bx -5=0$ ના ઉકેલો $\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$ અને $\frac{\alpha}{\beta}$ હોય,તો $\frac{b}{k^{2}}$ ની કિંમત $......$ છે.

$\pi + \left(\sin^{-1} \frac{4}{5} + \sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{16}{65}\right)$ ની કિંમત શોધો.